黎曼流形上优化算法研究及应用

一、成果基本信息

二、成果简介

研究成果主要包括黎曼流形上的黎曼流形上次梯度算法和临近点算法收敛性和收敛速度。具体地，通过建立了曲率有下界黎曼流形上的次梯度不等式，研究了两类次梯度算法的收敛性。第一类是求解凸可行性问题的次梯度投影算法。在一定步长选取下证明了次梯度投影算法收敛性，并在Slater条件下，分别提出了线性收敛和有限步停止的步长选取。第二类是求解凸优化问题的次梯度算法，分别证明了采用递减步长和动态步长算法的收敛性。作为应用，项目用次梯度算法求黎曼Lp质心。其次，在Hadamard流形上定集值向量场的度量次正则的条件下证明了两种非精确临近点算法的线性收敛性；当算法中的参数趋于零时，算法的超线性收敛性。在向量场的弱尖锐极小类条件下，证明了算法有限步停止。作为应用，讨论了Hadamard流形上求解凸优化问题的临近点算法。最后，研究了与优化问题密切相关的黎曼流形上一类特殊函数的性质。项目给出了这类函数是线性函数的充分必要条件，并论证了这类函数在庞加莱平面上不是线性函数和在曲率不为零的常曲率空间上不是拟凸函数。

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